Всего: 173 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Решим задачу от противного. Пусть двух чисел больше единицы не нашлось, тогда хотя бы 2 числа не больше единицы. Будем считать без ограничения общности, что 
и 
Тогда 
Противоречие.
Известно, что угол BMC равен 60°. Докажите, что 
Тогда треугольник DMA — равносторонний. Заметим теперь, что 
а 
Получаем, что треугольники ADC и BMK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
Васе задали на дом уравнение 
где p1 и q1 — целые числа. Он нашел его корни p2 и q2 и написал новое уравнение 
Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал 4 квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба — любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?
и 
Решим эту систему. Оба числа должны быть положительны, и при этом, возводя в квадрат первое неравенство и подставляя условие из второго, получаем 
Отсюда оба числа меньше 5, и перебором находим единственную подходящую пару: 1 и 2.
Продолжая применять теорему Виета, последовательно находим третье, второе и, наконец, первое уравнения: 
Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника 
Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает отрезок BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.
и 
Следовательно, треугольники OMN и BPQ подобны. Получаем, 
и треугольники OMR и ONS подобны. Из последнего подобия получаем 
значит, 
и четырехугольник 
Значит, найдется такой набор из 2016 цифр, перестановками которых можно получить не менее, чем 
и 
Заметим, что 
имеем неравенства 
следует, что все слагаемые в правой части равенства (1) соответствуют разным цифрам числа 
Следовательно, для всех допустимых a, b число 
состоит из фиксированного набора цифр: трех единиц, одной двойки, одной шестерки, двух восьмерок и 2009 нулей. 
разных 2016-значных полных квадратов.В стране лингвистов существует n языков. Там живет m людей, каждый из которых знает ровно 3 языка, причем для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно k. Оказалось, что 
Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы mn пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.
что пересечение их языков пусто. Оценим количество тех людей из B, которые могут поговорить с мистером X. Такие люди имеют хотя бы один общий язык и с мистером X, и с мистером 
(так как входят в множество B), а значит, их не больше, чем 
Таким образом, для каждого человека, не вошедшего в множество B, мы нашли как минимум 
представителей множества B, которые не могут с ним поговорить без посредника. Значит, всего таких пар 
а ребра — пары непересекающихся подмножеств. О кнезеровских графах есть популярная литература: см. [1], [2]. В задаче 6 речь идет про кнезеровский граф, у которого 
каждая его вершина — это тройка языков (или, если угодно, лингвист, владеющий этими тремя языками). Две вершины соединяются ребром, если соответствующие лингвисты не могут поговорить без посредников. Напомним, что множество вершин графа называется независимым, если любые две вершины в нем не соединены ребром. А мощность самого большого независимого множества вершин графа G называется числом независимости и обозначается 
В этих терминах задача 6 формулируется так: «Пусть дан подграф G кнезеровского графа с 
и m вершинами, причем 
и 
Докажите, что тогда число ребер графа G не меньше mn.
ребер или больше. В нашем случае такая оценка имеет лишь величину порядка m, а вовсе не mn, и это очень значимо.
если 
Это знаменитая теорема Эрдеша-Ко-Радо, доказательство которой можно прочесть, например, в [3]. Задача 6 возникла в тот момент, когда автору варианта и его ученикам удалось показать, что у случайного подграфа кнезеровского графа число независимости, вопреки интуиции, почти не меняется (см. [4]). Сейчас из этого выросла большая наука, которая позволяет по-новому взглянуть на классические результаты экстремальной комбинаторики (см. [5]). Отметим также, что оценка в задаче 6 отнюдь не оптимальная. Ее можно усилить, доказав следующий результат: «В условиях задачи 6 максимальные независимые множества обязательно состоят из вершин, которые все содержат один и тот же общий элемент множества Rn.» Попробуйте доказать это! В более общем случае это называется теоремой Хилтона-Милнера (см. [3]).
представить в виде произведения десяти положительных правильных дробей? (То есть выражений вида 
где p и — натуральные числа и 
или 
но не сказано, какие именно числаВнутри выпуклого четырехугольника A1A2B2B1 нашлась такая точка C, что треугольники CA1A2 и CB1B2 правильные. Точки C1 и C2 симметричны точке C относительно прямых A2B2 и A1B1 соответственно. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
то есть B2 — центр описанной окружности треугольника B1CC1. Поэтомy 
Поэтому 
Точно так же доказывается равенство других углов треугольников 
и 
Уравнение с целыми коэффициентами 
имеет 4 положительных корня с учетом кратности (т. е. сумма кратностей всех положительных корней этого уравнения равна 4). Найдите наименьшее возможное значение коэффициента b при этих условиях.
при 
Поэтому 
(d — целое, значит, 
Равенство достигается в случае, когда уравнение имеет 4 кратных корня, равных 1. В этом случае многочлен имеет вид 
Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматным образом, и в каждую белую клетку вписали по отличному от нуля целому числу. После этого для каждой черной клетки посчитали разность: произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такие разности равняться 1?
в соседних с ними 
затем 
и т. д. по правилу 
Часть этой расстановки в квадрате 
показана на среднем рисунке.
где 
— это 
-е
и соотношением 
для всех 
Доказать равенство 
можно с помощью тождества Каталана для чисел Фибоначчи, но мы это рассуждение приводить не будем.
число 
с центром в начале координат получится расстановка на нижнем рисунке. На каждой диагонали мы видим две арифметические прогрессии.
положительны. Координаты 
Возможны два случая:
Вычислим произведение того, что написано в соседних по горизонтали клетках, минус произведение того, что написано в соседних по вертикали: 
из условий 
и 
следует, что 
Пользуясь несколько раз тождеством 
снова получим: 
и впишем в кубы, прилегающие к вершинам A, C, B', D' черные шары, а в остальные — белые. Очевидно, что каждый черный шар касается трех белых и наоборот, а шары одного цвета не имеют общих точек. Теперь заменим черные шары шарами с диаметром 
а белые шарами с диаметром 
где 
меньше половины минимального расстояния между черными шарами, так что все шары по-прежнему касаются трехгранных углов куба. Тогда черные шары по-прежнему не будут иметь общих точек. Докажем, что теперь и шары разного цвета не имеют общих точек. Действительно, пусть O1, O2 — центры шаров, вписанных в трехгранные углы при вершинах A и B, a r1, r2 — радиусы этих шаров. Тогда проекция отрезка O1O2 на AB равна 
Поскольку 
то 
следовательно, 
Таким образом, никакие два из наших восьми шаров не имеют общих точек, и можно немного увеличить их радиусы.В однокруговом хоккейном турнире принимало участие 2016 команд. По регламенту турнира за победу дается 3 очка, за поражение 0 очков, а в случае ничьей играется дополнительное время, победитель которого получает 2 очка, а проигравший — 1 очко. По окончании турнира Остапу Бендеру сообщили количество очков, набранных каждой командой, на основании чего он сделал вывод, что не менее N матчей закончились дополнительным временем. Найдите наибольшее возможное значение N.
а оставшиеся ребра синие.
сделаем синими, а ребра 
—
сделаем синими, a 
—
сделаем синими, а 
—
где T — количество деревьев в графе на красных ребрах. Так как в каждом дереве не более 4 вершин, 
то есть 
—
команда из 
На шахматном турнире для 12 участников каждый сыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За выигрыш давали 1 очко, за ничью 
за проигрыш 0. Вася проиграл только одну партию, но занял последнее место, набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набрав больше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?
партий, то есть разыграно столько же очков. По условию Вася проиграл одну партию, поэтому с 10 участниками он сыграл либо вничью, либо выиграл. Значит, он набрал не менее 5 очков. Тогда каждый из остальных набрал не менее 
очков, а все шахматисты в сумме набрали не менее 
тогда 
Наименьшее значение квадратичной функции 
(тогда 
и равно 
и 
Противоречие.
и 
а четырехугольники AMND и BMNC вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.
(см. рисунок). Тогда 
—
(накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BK). Поскольку четырехугольник AMND вписанный, сумма его противоположных углов равна 180°, поэтому 
Аналогично из того, что четырехугольник BMNC вписанный, следует равенство 
Следовательно, 
и 
поэтому треугольники AMB и CND равны (по двум сторонам и углу между ними), откуда 
то есть трапеция ABCD равнобедренная. Отсюда следует, что прямая l, проходящая через середины ее оснований AD и BC, перпендикулярна этим основаниям. 
можно доказать и другими способами. Например, так: пользуясь тем, что четырехугольники AMND и BMNC вписанные, а углы 
и 
в сумме дают 180°, получаем 
В английском клубе вечером собрались n его членов 
По традициям клуба каждый принес с собой сок того вида, который он предпочитает, в том количестве, которое он планирует выпить в течение вечера. Согласно правилам клуба, в любой момент любые три его члена могут присесть за столик и выпить сока (каждый — своего) в любом количестве, но обязательно все трое поровну. Докажите, что для того, чтобы все члены могли в течение вечера полностью выпить принесенный с собой сок, необходимо и достаточно, чтобы доля сока, принесенного любым членом клуба, не превосходила одной трети от общего количества.
то по условию задачи доля каждого из трех членов клуба равна одной трети от общего количества, и они смогут выпить весь свой сок, присев за столик один раз. База индукции установлена.
Предположим, что максимальная доля сока была лишь у одного члена клуба. В этом случае за столик присаживаются член клуба с максимальной долей и два — с минимальной. Пока они пьют, доля каждого из них в общем объеме уменьшается, а доли всех оставшихся возрастают. Пусть они продолжают пить до тех пор, пока один из членов клуба с наименьшей долей не допьет все до конца (тогда оставшиеся члены клуба смогут допить весь свой сок в соответствии с предположением индукции), либо наибольшая из долей членов клуба, не сидящих за столиком, не сравняется с максимальной (принадлежащей одному из сидящих за столиком). 
членов клуба. Опишем алгоритм, позволяющий всем членам клуба выпить весь принесенный сок. Пусть Δ — разница в объеме сока между максимальной и следующей по величине долями. Члены клуба с максимальной долей поочередно пьют в тройках «по кругу» (то есть сначала первый со вторым и третьим, затем второй с третьим и четвертым и т. д., a в конце 
После этого количество членов клуба с максимальной долей увеличивается по крайней мере на одного. Так продолжаем до тех пор, пока доли всех членов клуба не станут одинаковыми. Далее все допивают остаток таким же способом — в тройках «по кругу».
ни при каком положении тройника разные его концы не будут указывать на внутренние точки дуги, соответствующей одному члену клуба.Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб с ребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей расстояние между любыми двумя ее точками было: а) меньше 
б) меньше 
Предполагается, что все плоскости проводятся одновременно, куб и его части не двигаются.
как показано на рисунке. Расстояние между любыми двумя точками прямоугольного параллелепипеда не превосходит его диагонали. Длины диагоналей всех 12 частей, на которые разрезан куб, равны 
имеют место неравенства 
и 
и 
С левого берега реки на правый с помощью одной лодки переправились N туземцев, каждый раз плавая направо вдвоем, а обратно — в одиночку. Изначально каждый знал по одному анекдоту, каждый — свой. На берегах они анекдотов не рассказывали, но в лодке каждый рассказывал попутчику все известные ему на данный момент анекдоты. Для каждого натурального k найдите наименьшее возможное значение N, при котором могло случиться так, что в конце каждый туземец знал, кроме своего, еще не менее чем k анекдотов.
достаточно двух туземцев, которые переправляются вместе на другой берег. Если для 
достаточно 2m туземцев, то для 
сначала (в соответствии с предположением индукции) могут переправиться на правый берег 2m туземцев, каждый из которых узнает при этом не менее m анекдотов, а затем каждый из них поочередно переплывает по одному разу на левый берег и перевозит оттуда одного из оставшихся там 
туземцев, узнав по дороге его анекдот и рассказав ему не менее 
анекдота, известного ему на тот момент. В результате каждый из 
туземцев узнает не менее 
новых анекдотов.
прогулки вдвоем по озеру с возвращением в компанию. Докажем, что даже в этой задаче 
туземцев, а всего — не менее 2k.
Докажем, что S по мере переправы не уменьшается. Между последовательными попаданиями лодки на правый берег возможны 3 вида случаев: количество богатых туземцев в лодке на пути с левого берега на правый оказалось равным 0, 1 или 2.
Но на левый берег лодку перегонял богатый туземец, который на левом берегу и остался, увеличив L на 1. Значит, в этом случае S не изменилась.
то есть вновь S не изменилась.
она уменьшается менее чем на 1. Тем самым, в итоге S увеличилась.
а капитал каждого туземца не более 2–k. Значит, туземцев не менее 2k.
при некотором натуральном k. Тогда 
и 
не могут одновременно делиться на 5, так как их разность равна 8 и на 5 не делится. Следовательно, либо 
либо 
то есть 
Если 
то n2 оканчивается на 6016 или 4016. Если же 
и выбран знак «минус», то получаем число 
—
г.
г
г,
г.
то есть весы будут в равновесии. Разобьём оставшиеся 74 гири на 37 пар: 
то положим на произвольную чашу одну гирю пары, а на другую чашу — вторую гирю пары. Тогда с учетом неравенства 
после очередного докладывания разность масс на чашах будет равна 
и при этом больше 
г,
г.
(гири в каждой паре лежат на разных чашах весов) и для каждой пары менять составляющие ее гири местами (гирю с левой чаши перекладывать на правую и наоборот). Если эта операция будет проделана для каждой пары, то разность между суммарными массами гирь на левой и правой чашах составит 
образующих пару, эта разность уменьшается на 